行列式5-意义及应用

作者：Eric

创建时间：2026-08-01 00:48

这篇记什么

对于数域 $K$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组，其中，

（1）增广矩阵 $\widetilde{A} \xrightarrow[]{\text{初等行变换}} \widetilde{J}$ （阶梯形）

（2）系数矩阵 $A \xrightarrow[]{\text{相同初等行变换}} J$ （阶梯形）

由[[线性方程组的解法]]，方程组的解只有无解、无穷解、唯一解 三种情况

无解

$\widetilde{J}$ 有非零行 $(0,0,...,d)$ $\Rightarrow$ $J$ 有零行 $\Rightarrow$ $detJ=0$
无穷解

$\widetilde{J}$ 的非零行数目 $r<n$ $\xRightarrow{\widetilde{J}\text{有}n\text{行}}$ $\widetilde{J}$ 有零行 $\Rightarrow$ $J$ 有零行 $\Rightarrow$ $detJ=0$
唯一解

$\widetilde{J}$ 的 $r=n$ $\Rightarrow$ $\widetilde{J}$ 有 $n$ 个非零行 $\Rightarrow$ $J$ 有 $n$ 个非零行 $\Rightarrow$ $J$ 有 $n$ 个主元 $\Rightarrow$ $detJ≠0$

仅当有唯一解的情况时， $detJ≠0$ ，因此，方程组有唯一解 $\iff \mathbf{detJ≠0}$

由于 $detJ=l\cdot detA$ ，其中 $l≠0$ ，因此， $detJ≠0 \iff detA≠0$
$\boxed{\text{数域}K\text{上}n\text{个方程的}n\text{元线性方程组有}\mathbf{\text{唯一解}} \iff \text{其系数矩阵}A\text{的行列式}≠0}$
推论：

数域 $K$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组 只有零解 $\iff$ 系数矩阵 $A$ 的行列式 $≠0$

……有非零解 $\iff$ …… $A$ 的行列式 $=0$

二阶行列式的几何意义

$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}$ 表示坐标分别为 $(a_1,a_2)^T$ 和 $(b_1,b_2)^T$ 的向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 张成的平行四边形的定向面积。规定由 $\vec{a}$ 逆时针 转向 $\vec{b}$ 为正向。
三阶行列式的几何意义

$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}$ 表示坐标分别为 $(a_1,a_2,a_3)^T$ 、 $(b_1,b_2,b_3)^T$ 和 $(c_1,c_2,c_3)^T$ 的向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 张成的平行六面体的定向体积。方向遵循右手定则。