行列式4-拉普拉斯定理

作者：Eric

创建时间：2026-07-29 14:21

这篇记什么

$k$ 阶子式
拉普拉斯定理

主要内容

$k$ 阶子式及其代数余子式

$n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ ，任意取定 $k$ 行和 $k$ 列

第 $i_1,i_2,...,i_k$ 行（其中 $i_1<i_2<...<i_k$ ）

第 $j_1,j_2,...,j_k$ 列（其中 $j_1<j_2<...<j_k$ ）

这 $k$ 行和 $k$ 列的元素按照 原来的排列 形成一个 $k$ 阶的行列式，称它为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式，记作
$A\begin{pmatrix}i_1,i_2,...,i_k \\ j_1,j_2,...,j_k\end{pmatrix} \tag{1}$
划去上述 $k$ 行和 $k$ 列，剩下的元素按 原来的排列 行程的 $n-k$ 阶行列式，称为子式 $1$ 的余子式。

令 $\{i_1',i_2',...,i_{n-k}'\}=\{1,2,...,n\} \backslash \{i_1,i_2,...,i_k\}$ ， $i_1'<i_2'<...<i_{n-k}'$

令 $\{j_1',j_2',...,j_{n-k}'\}=\{1,2,...,n\} \backslash \{j_1,j_2,...,j_k\}$ ， $j_1'<j_2'<...<j_{n-k}'$

子式 $1$ 的余子式也是 $A$ 的一个 $n-k$ 阶余子式，记作
$A\begin{pmatrix}i_1',i_2',...,i_{n-k}' \\ j_1',j_2',...,j_{n-k}'\end{pmatrix}$
此时，
$(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)}A\begin{pmatrix}i_1',i_2',...,i_{n-k}' \\ j_1',j_2'...,j_{n-k}'\end{pmatrix}$
称为子式 $1$ 的代数余子式
行列式按 $k$ 行 $k$ 列展开（拉普拉斯定理）

$n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ ，取定第 $i_1,i_2,...,i_k$ 行（其中 $i_1<i_2<...<i_k$ ），则 $detA$ 等于这 $k$ 行形成的所有 $k$ 阶子式（列从 $n$ 列中任取 $k$ 列，共 $C_n^k$ 种）与它自己的代数余子式的乘积之和。

证明如下，

根据行列式的定义
$detA=\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}(-1)^{\tau(x)}a_{{\color{red}i_1}u_1}a_{{\color{red}i_2}u_2}...a_{{\color{red}i_k}u_k}a_{{\color{green}i_1'}v_1}a_{{\color{green}i_2'}v_2}...a_{{\color{green}i_{n-k}'}v_{n-k}}$
（1）行指标的逆序数：

第 $\color{red}i_1$ 个位置由原来的 $\color{red}i_1$ 位换到了 $1$ 位，逆序数是 $i_1-1$

第 $\color{red}i_m$ 个位置， $m \in \{1,2,...,k\}$ ，由原来的的 $\color{red}i_m$ 位换到了 $m$ 位，逆序数是 $i_m-m$ （其比前面的数都要大）

第 $\color{green}i_c'$ 个位置， $c \in \{1,2,...,n-k\}$ ，均属顺序数内，因此 $\color{green}i_c'$ 的逆序数都为 $0$

（2）列指标的逆序数： $\tau(u_1u_2...u_kv_1v_2...v_{n-k})$

由此，
$detA=\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}(-1)^{\overbrace{(i_1-1)+(i_2-2)+...+(i_k-k)}^{\text{行}}+\overbrace{\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})}^{\text{列}}}a_{{\color{red}i_1}u_1}a_{{\color{red}i_2}u_2}...a_{{\color{red}i_k}u_k}a_{{\color{green}i_1'}v_1}a_{{\color{green}i_2'}v_2}...a_{{\color{green}i_{n-k}'}v_{n-k}}$
上式中较难处理的有 $\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}$ 和 $\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})$ 两部分

(a) 先试着拆解 $\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}$ ，

由 $k$ 阶子式的定义，取定第 $j_1,j_2,...,j_k$ 列（ $j_1<j_2<...<j_k$ ）

$u_1...u_k$ 取遍 $j_1...j_k$ 的 $k$ 元排列，而 $v_1...v_{n-k}$ 取遍 $j_1'...j_{n-k}'$ 的 $n-k$ 元排列

因此，
$\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}=\sum_{j_1<j_2<...<j_n}\sum_{u_1...u_k}\sum_{v_1...v_{n-k}}$
(b) 下计算 $\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})$

仅关注 $u_1...u_k$ 部分，若 $u_1...u_k \xrightarrow[]{s\text{次对换}} j_1...j_k$ ，

则 $\tau(u_1...u_k)=s + \tau(j_1...j_k)$

由于 $j_1...j_k$ 为偶排列（顺序排列，逆序数为 $0$ ），因此 $\tau(u_1...u_k)=s$
$(-1)^{\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})}=(-1)^{\color{red}s}(-1)^{\tau(j_1...j_kv_1...v_{n-k})}=(-1)^{{\color{red}\tau(u_1...u_k)}}(-1)^{\tau(j_1...j_kv_1...v_{n-k})}$
接着，计算 $\tau({\color{red}j_1...j_k}{\color{green}v_1...v_{n-k}})$

同前文行指标的逆序数中 $\color{red}i_m$ 的部分，不同的是前文处理中的 $\color{green}i_c'$ 逆序数为 $0$ ，此处后半部分的逆序数为 $\tau(v_1...v_{n-k})$ ，
$(-1)^{\tau({\color{red}j_1...j_k}{\color{green}v_1...v_{n-k}})}=(-1)^{{\color{red}(j_1-1)+(j_2-2)+...+(j_k-k)}+{\color{green}\tau(v_1...v_{n-k})}}$
因此，
$(-1)^{\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})}=(-1)^{{\color{red}\tau(u_1...u_k)}+{\color{green}(j_1-1)+(j_2-2)+...+(j_k-k)}+{\color{red}\tau(v_1...v_{n-k})}}$
将 $\sum_{u_1...u_kv_1...v_{n-k}}$ 和 $\tau(u_1...u_kv_1...v_{n-k})$ 两部分代入，整合得
$detA=\sum_{j_1<j_2<...<j_n}\sum_{u_1...u_k}\sum_{v_1...v_{n-k}}(-1)^{\overbrace{(i_1-1)+(i_2-2)+...+(i_k-k)}^{\text{行}}+\overbrace{{\color{red}\tau(u_1...u_k)}+{\color{green}(j_1-1)+(j_2-2)+...+(j_k-k)}+{\color{red}\tau(v_1...v_{n-k})}}^{\text{列}}}a_{{\color{red}i_1}u_1}a_{{\color{red}i_2}u_2}...a_{{\color{red}i_k}u_k}a_{{\color{green}i_1'}v_1}a_{{\color{green}i_2'}v_2}...a_{{\color{green}i_{n-k}'}v_{n-k}}$
其中，由于出现了两次 $1+2+...+k$ ，由等差数列的求和公式，这两项可消除

提取可提项，化简得
$detA=\sum_{j_1<j_2<...<j_n}(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}\sum_{u_1...u_k}(-1)^{\tau(u_1...u_k)}a_{{\color{red}i_1}u_1}a_{{\color{red}i_2}u_2}...a_{{\color{red}i_k}u_k}\sum_{v_1...v_{n-k}}(-1)^{\tau(v_1...v_{n-k})}a_{{\color{green}i_1'}v_1}a_{{\color{green}i_2'}v_2}...a_{{\color{green}i_{n-k}'}v_{n-k}}$
此式即为，
$det A =\sum_{j_1<j_2<...<j_n}(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)}A\begin{pmatrix}i_1,i_2,...,i_k \\ j_1,j_2...,j_k\end{pmatrix} A\begin{pmatrix}i_1',i_2',...,i_{n-k}' \\ j_1',j_2',...,j_{n-k}'\end{pmatrix}$ $det A =\sum_{j_1<j_2<...<j_n}A\begin{pmatrix}i_1,i_2,...,i_k \\ j_1,j_2...,j_k\end{pmatrix}\cdot(-1)^{(i_1+...+i_k)+(j_1+...+j_k)} A\begin{pmatrix}i_1',i_2',...,i_{n-k}' \\ j_1',j_2',...,j_{n-k}'\end{pmatrix}$
上述式子可表述为： $detA$ 等于这 $k$ 行形成的所有 $k$ 阶子式与它自己的代数余子式的乘积之和。

原定理得证。

行列式4-拉普拉斯定理

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