行列式的展开

作者：Eric

创建时间：2026-07-28 17:20

这篇记什么

• 余子式和代数余子式
• 行列式的展开
• $n$ 阶范德蒙德行列式

主要内容

余子式和代数余子式

1. 余子式

   $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ ，划去 $A$ 的 $(i,j)$ 元所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按原来的顺序构成一个 $n-1$ 阶行列式，称为 $A$ 的 $(i,j)$ 元的 余子式，记作 $M_{ij}$ 。

2. 代数余子式

   令 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，称为 $A$ 的 $(i,j)$ 元的 代数余子式 。

行列式的展开（最一般的定义）

1. 定理1（行展开）

   $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式

   $$det A=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} \tag{1}$$

   其中，$i \in \{1,2,...,n\}$

   取定 $A$ 的第 $i$ 行

   $$detA = \sum(-1)^{\tau(x)}{\color{red}a_{ij}}a_{1{\color{green}k_1}}...a_{{\color{yellow}i-1},{\color{green}k_{i-1}}}a_{{\color{yellow}i+1},{\color{green}k_{i+1}}}...a_{n{\color{green}k_n}}$$

   固定了第 $i$ 行第 $j$ 列的 $\color{red}a_{ij}$，剩下的要从 其余的每一行（除第 $i$ 行）中随机选取某列（除第 $j$ 列）的元素

   下确定逆序数

   （1）行指标逆序数：除 $\color{red}i$ 外自然排列，因此 $\color{red}a_{ij}$ 后直到 $a_{{\color{yellow}i-1},{\color{green}k_{i-1}}}$ ，共 $i-1$ 个逆序数

   （2）列指标逆序数（$\color{red}a_{ij}$ 相关）：选定了第 $\color{red}j$ 列，因此比 $j$ 小的数共有 $j-1$ 个，即 $j-1$ 个逆序数

   （3）列指标逆序数（$\color{green}k$ 相关）：共 $\color{orange}\tau(k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n})$ 个

   按列写出 $A$ 的行列式（ $\sum$ 下面的系数 ）

   $$detA = \sum_{j{\color{green}k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}}(-1)^{\overbrace{(i-1)}^{\text{行}}+\overbrace{(j-1)+{\color{orange}\tau(k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n})}}^{\text{列}}}{\color{red}a_{ij}}a_{1{\color{green}k_1}}...a_{{\color{yellow}i-1},{\color{green}k_{i-1}}}a_{{\color{yellow}i+1},{\color{green}k_{i+1}}}...a_{n{\color{green}k_n}}$$

   按 $i$ 行进行分组，$j$ 可取遍 $1\sim n$

   $$detA = \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}{\color{red}a_{ij}} \sum_{{\color{green}k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n}}(-1)^{{\color{orange}\tau(k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n)}}a_{1{\color{green}k_1}}...a_{{\color{yellow}i-1},{\color{green}k_{i-1}}}a_{{\color{yellow}i+1},{\color{green}k_{i+1}}}...a_{n{\color{green}k_n}}$$

   对于后面的 $\sum$ 部分，

   （1）行指标（$1 ...(i-1)(i+1)...n$）中不含 $i$，相当于划掉第 $i$ 行

   （2）列指标（$k_1...k_{i-1}k_{i+1}...k_n$）中不含 $j$，相当于划掉第 $j$ 列

   由前文 余子式和代数余子式 的定义，得

   $$det A = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$$

2. 定理 2（列展开）

   $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式

   $$det A=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj} \tag{2}$$

   其中 $j \in \{1,2,...,n\}$

   由行列式性质 1 （转置行列式不变），得

   $$detA=detA^T \xrightarrow[]{\text{按行展开}} a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$$

3. 定理 3

   $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ ，当 $k≠i$ 时

   $$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=0$$

   可以理解成行列式的第 $i$ 行的值代替了第 $k$ 行后，按照第 $k$ 行进行行展开的行列式结果

   由于存在两行相等，因此行展开的行列式结果为 $0$

4. 定理 4

   $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ ，当 $l≠j$ 时

   $$a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+...+a_{nj}A_{nl}=0$$

   证同定理 3

$n$ 阶范德蒙德行列式

$$det A= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & ... & a_n^2 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le j < i \le n}(a_i-a_j)$$

计算的关键在于将第一列全部化为 $0$ ，后可用数学归纳法。

结果展开如下

$$\begin{array}{r} \prod\limits_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j) = (a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_4-a_1)\cdots(a_n-a_1) \\ (a_3-a_2)(a_4-a_2)\cdots(a_n-a_2) \\ (a_4-a_3)\cdots(a_n-a_3) \\ \vdots \\ (a_n-a_{n-1}) \end{array}$$

相关

• 高等代数（上册） - 丘维声著. 北京：清华大学出版社，2010.6