行列式的性质

作者：Eric

创建时间：2026-07-24 09:09

这篇记什么

• 行列式更一般的定义
• 行列式的 7 条性质

主要内容

更一般的 $n$ 阶行列式定义

前文[[行列式1-定义]]中要求元素按行指标成自然序排列位置，但若是元素任意排列，则需要更一般的定义。

由先前定义(1)中， $n$ 阶行列式中的一项为

$$(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$$

经过 $s$ 次两个元素交换位置

行排列指标： $12...n \xrightarrow[]{\text{s次变换}} i_1i_2...i_n$

列排列指标： $j_1j_2...j_n \xrightarrow[]{\text{s次变换}} k_1k_2...k_n$

对换后的奇偶性由原排列的奇偶性和变换次数决定

对于变换后的行指标：$(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)}=1\cdot(-1)^s$

对于变换后的列指标：$(-1)^{\tau(k_1k_2...k_n)}=(-1)^s\cdot(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}$

两边相乘，

$$(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)+\tau(k_1k_2...k_n)}=(-1)^{2s+\tau(j_1j_2...j_n)}=(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}$$

因此经过 $s$ 次随意变换后，$n$ 阶行列式中的一项为

$$(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)+\tau(k_1k_2...k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n}$$

因此，$n$ 阶行列式的定义可改写为

$$\boxed{\sum_{n!} (-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)+\tau(k_1k_2...k_n)}a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}...a_{i_nk_n}}$$

特别地， $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式

$$det A=\sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)+0}a_{i_1\color{red}1}a_{i_2\color{red}2}...a_{i_n\color{red}n}$$

以上为按照列指标自然序的行列式计算

行列式的性质

1. 转置不变性： $det(A)=det(A^T)$

   转置矩阵：行列交换，即 $a_{ij}\xleftrightarrow{\text{交换}}a_{ji}$ ，此时列指标在第一个位置，行指标在第二个位置

   $detA^T$ 按照列指标自然序计算，

   $$det A^T=\sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)+0}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{ni_n}=detA$$

2. 若 $A \xrightarrow[]{\text{第 }i\text{ 行乘上 }k} B$ ，$det B=k\cdot detA$

   $$det B = \sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}...ka_{ij_i}...a_{nj_n}$$

   提取一个 $k$ 出来，得 $det B = k detA$

3. 若 $A$ 中的第 $i$ 行中的元素可拆分成两数之和，则 $A$ 可拆分为两行列式之和。

   即第 $i$ 行元素 $a_{j} = b_{j}+c_{j}$

   证明思路同 2.中内容。

4. 若 $A \xrightarrow[]{\text{第 }i\text{ 行与第 }k\text{ 行互换}} C$，$detC=-detA$

   $C$ 可写作如下，

   $$det C=\sum_{j_1...j_i...j_k...j_n}(-1)^{\tau(j_{\color{red}1}...j_{\color{red}i}...j_{\color{red}k}...j_{\color{red}n})}a_{1j_{\color{red}1}}...\overbrace{a_{kj_{\color{red}i}}}^{\text{第 }i\text{ 行}}...\overbrace{a_{ij_{\color{red}k}}}^{\text{第 }k\text{ 行}}...a_{nj_{\color{red}n}}$$

   由于乘法可交换元素次序（$a_{kj_i}$ 和 $a_{ij_k}$ 交换），因此， $C$ 可写作

   $$det C=\sum_{j_1...j_i...j_k...j_n}(-1)^{\tau(j_1...j_i...j_k...j_n)}a_{1j_1}...a_{i j_k}...a_{kj_i}...a_{nj_n}$$

   交换排列 $j_1...j_i...j_k...j_n$ 中的 $j_i$ 和 $j_k$ 以对应前面乘法交换的元素，又由[[行列式1-定义]]中定理1：$(-1)^{\tau(j_1...j_i...j_k...j_n)} = (-1)\cdot(-1)^{\tau(j_1...j_k...j_i...j_n)}$

   因此，

   $$det C = \sum_{j_1...j_k...j_i...j_n}(-1)\cdot(-1)^{\tau(j_{\color{red}1}...j_{\color{red}k}...j_{\color{red}i}...j_{\color{red}n})}a_{1j_{\color{red}1}}...a_{i j_{\color{red}k}}...a_{kj_{\color{red}i}}...a_{nj_{\color{red}n}}=(-1)\cdot det A$$

5. 两行相等，行列式为 $0$

   由性质4，交换相等的两行（假定为第 $i$ 行和第 $k$ 行）

   因此，

   $$det A=-det A$$

   得到 $det A=0$

6. 两行成比例 $l$，行列式为 $0$

   由 性质2，提出 $l$，原行列式转化为 $l$ 与 $detA'$ 相乘，$A'$ 为有两行相等的行列式

   再由 性质5 ，$detA'=0$，因此

   $$detA = l\cdot detA'=0$$

7. 若 $A \xrightarrow[]{\text{将第 }i\text{ 行的 }l\text{ 倍，加到第 }k\text{ 行}} B$，行列式不变

   由 性质3 和 性质6，$B$ 可拆分为

   $$det B = detA + 0=detA$$

相关

• 高等代数（上册） - 丘维声著. 北京：清华大学出版社，2010.6