行列式

作者：Eric

创建时间：2026-07-21 14:18

这篇记什么

• 二阶行列式
• n阶行列式的逆序数定义
• 三阶行列式
• 上三角行列式

主要内容

二阶行列式

$$det A = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

• 数域 $K$ 上系数矩阵为 $A$ 的二元一次方程组有唯一解 $\Leftrightarrow$ $detA≠0$
• 若 $detA=0$ 说明解的分母为 $0$ ，对应的二元一次方程组无解或无穷解

逆序数

$n$ 元排列：$n$ 个不同的正整数的一个全排列，一共 $n!$ 项

以4元排列中的（2431）为例：

从左到右，顺序的数对为：24，23

从左到右，逆序的数对为：21，43，41，31

定义：

逆序数对的数目为该排列的 逆序数，记为 $\tau$ 。

逆序数是偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列，即（2431）是一个偶排列

在偶排列 2431 中

4 与 1 交换位置，而其余数不变，称为一个 对换

得到 2134 为奇排列

定理 1：

对换 改变排列的奇偶性。

定理 1 的证明

设改变的两个数的位置为 i 和 j

（1）特殊情况 - i, j 相邻

此时，i, j 的关系发生改变，改变前后排列数相差 1 ，由 奇（偶） 改变到 偶（奇）。

（2）一般情况

假设 i 和 j 中间有 s 个数

1. i 要换回原本 i 的位置，需要进行 s+1 次交换，此时，i 被交换到 j 的后面。
2. j 再换回原本 j 的位置，需要进行 s 次交换

因此，总共进行了 (s+1) + s 次交换，奇数次交换，由 奇（偶） 改变到 偶（奇）。

定理 2：

任一 $n$ 元排列 $j_1j_2...j_n$ 能与 $12...n$ 能通过一系列的对换互变，且所需要的变换数与 $j_1j_2...j_n$ 具有相同的奇偶性。

定理 2 的证明：

$j_1j_2...j_n \xrightarrow[]{\text{s次对换}} 12...n\text{（偶排列）}$

（1）若 $j_1j_2...j_n$ 为奇排列，则 $s$ 一定是奇数，才能最终变换到偶排列

（2）若为偶排列，则 $s$ 一定是偶数，才能最终变换到偶排列

$n$ 阶行列式

$$detA = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ...&...&&... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}$$

$n!$ 项的代数和，其中每一项是 不同行、不同列的元素 的乘积，每一项按行指标成自然序排列位置。当列指标形成排列为 偶排列 时，该项带 正号 ；当列指标形成的排列为 奇排列 时，该项带 负号。

转化为数学语言，即

$$\sum_{j_1j_2...j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}\tag{1}$$

三阶行列式：

三元排列中，偶排列：123，231，312（红色）

三元排列中，奇排列：132，213，321（橙色）

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{1\color{red}1}a_{2\color{red}2}a_{3\color{red}3}+ a_{1\color{red}2}a_{2\color{red}3}a_{3\color{red}1}+ a_{1\color{red}3}a_{2\color{red}1}a_{3\color{red}2}- a_{1\color{orange}1}a_{2\color{orange}3}a_{3\color{orange}2}- a_{1\color{orange}2}a_{2\color{orange}1}a_{3\color{orange}3}- a_{1\color{orange}3}a_{2\color{orange}2}a_{3\color{orange}1}$$

三阶行列式的记忆口诀：主对角 – 副对角

上三角行列式 $U$

主对角线下方元素全为 $0$ 的行列式。

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & ... & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & ... & a_{3,n-1} & a_{3n} \\ ...&...&... & ...&...&... \\ 0 & 0 & ... & 0 & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n}\\ 0 & 0 & ... & 0 & 0 & a_{nn} \end{vmatrix}$$

需要取 不同行、不同列的元素 的乘积，从 $0$ 最多的行开始取（$a_{nn}$占据了第 $n$ 列）；于是，第 $n-1$ 行不能取第 $n$ 列的元素，只能取 $n-1$ 列的元素（$a_{n-1,n-1}$）；依次取下去，得到

$$det U=\prod_{i=1}^na_{ii}$$

即，主对角线的行列式等于其对角线上各元素的乘积

相关

• 高等代数（上册） - 丘维声著. 北京：清华大学出版社，2010.6