线性方程组解法

作者：Eric

创建时间：2026-07-20 14:14

这篇记什么

矩阵消元法
方程组解情况的判定
数域

主要内容

矩阵消元法

阶梯型矩阵的特征

0行在下方
主元 列指标 随着 行指标 的增加而严格增大

行最简阶梯形矩阵的特征

阶梯形矩阵
主元都是1
主元所在列的其余元素都是0

矩阵的初等行变换操作（只有三种）

把一行的倍数加到另一行
两行互换
行乘以非零常数

总结

\boxed{矩阵初等行变换得到的方程组和原方程组同解}

主变量：以主元为系数的未知量
自由未知量：其他未知量
一般解：含⾃由未知量的式⼦表示主变量

方程组解的情况

$n$ 元线性方程组
定理 1：在有理数集（或实数集、或虚数集）内， $n$ 元线性方程组的解的情况有且只有三种可能：无解、唯一解、无穷解

证明：

$n$ 元线性方程组的 增广矩阵 经过 初等行变换 可化成阶梯形矩阵 $J$ ，设 $J$ 有 $r$ 个非零行，有 $n+1$ 列。
- 情况 1：
  
  出现 “ $0=d$ （ $d$ 是非零数）”，方程组无解。
- 情况 2：
  
  不出现 “ $0=d$ （ $d$ 是非零数）”，方程组有解。
  
  $J$ 的第 $r$ 个主元 $b_{rt}$ 不能位于 $n+1$ 列，故 $t \le n$ ，又有 $t \ge r$ ，从而 $r \le n$
  
  将 $J \xrightarrow[]{初等行变化} J_1$ （最简阶梯形矩阵）， $J_1$ 也有 $r$ 个非零行，从而 $J_1$ 有 $r$ 个主元。
  - 情况 2.1：（ $r=n$ ，此时 $J_1$ 有 $n$ 个主元）
    $J_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1}\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    其中， $(c_1, c_2, ...,c_n)^T$ 是原方程组的 $\boxed{唯一解}$ 。
  - 情况 2.2：（ $r<n$ ）
    
    此时 $J_1$ 有 $r$ 个主变量 $(x_1,x_{j_2},x_{j_3},...,x_{j_r})^T$ ， $n-r$ 个自由未知量 $(x_{i_1},x_{i_2},x_{i_3},...,x_{i_{n-r}})^T$ 。本质是将 $r$ 个主变量和 $n-r$ 个自由未知量分离。
    
    其中，原方程组有 $\boxed{无穷解}$ ，一般解为
    $\begin{cases} x_{j_1} = b_{11}x_{i_1} +\cdots+ b_{1,n-r}x_{i_{n-r}} +d_1,\\[4pt] x_{j_2} = b_{21}x_{i_1} +\cdots+ b_{2,n-r}x_{i_{n-r}} +d_2,\\[4pt] \qquad\vdots\\[4pt] x_{j_r} = b_{r1}x_{i_1} +\cdots+ b_{r,n-r}x_{i_{n-r}} +d_r. \end{cases}$
    其中的 $b_{kl} = -a_{kl}$ ， $a_{kl}$ 是 $J_1$ 中 第 $k$ 个主元方程 内第 $l$ 个自由未知量对应的系数。
$n$ 元齐次线性方程组
齐次线性方程组指：常数项全为 $0$ 的线性方程组。

其中， $(0,0,...,0)^T$ （共 $n$ 个 $0$ ）是该齐次线性方程组的一个解（称为零解）；其余解（若有）称为非零解。
- 推论 1： $n$ $n$ 元齐次线性方程组若有非零解 $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵非零行数目 $r < n$ $r < n$ $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ 方程组有无穷解。
  - 反证法：若非零解唯一，系数矩阵化为最简阶梯形矩阵时有 $n$ 个主元，对应着增广列有 $n$ 个 $0$ 。此时，唯一解一定是零解。
- 推论 2： 若方程个数 $s<n$ ，则 $r \le s < n$ ，故方程组有非零解。

数域

定义： 复数集的一个非空子集 $K$ 如果满足

$0, 1 \in K$ ；
加减、乘法完备性： $a, b \in K \Rightarrow a±b,ab \in K$ ；
除法完备性： $a, b \in K, b≠0 \Rightarrow \frac{a}{b} \in K$

则称 $K$ 为一个数域。

常见数域

有理数域（最小的数域）： $\mathbb{Q}$
实数域： $\mathbb{R}$
复数域： $\mathbb{C}$
整数集不属于数域，因为其对除法不完备

线性方程组解法

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矩阵消元法

阶梯型矩阵的特征

行最简阶梯形矩阵的特征

矩阵的初等行变换操作（只有三种）

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方程组解的情况

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