导数的计算

作者：Eric 创建时间：2026-04-18 21:34

这篇记什么

• 默认掌握基础导数计算方法
• 考研重难点导数的计算方法以及必背公式

主要内容

必背公式

1. 导数定义 $f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ $f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 常结合极限的局部保号性来进行正负判断，如

   $$f''(x_0)=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0$$

   可推出，在去心领域 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 中，有

   $$\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}<0.$$

2. 三角函数及相关特殊函数

函数	导数		函数	导数
$\sin x$	$\cos x$		$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\cos x$	$-\sin x$		$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\tan x$	$\sec^2 x$		$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\cot x$	$-\csc^2 x$		$\text{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$
$\sec x$	$\sec x \tan x$		$\csc x$	$-\csc x \cot x$
$\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$		$\ln\!\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)$	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$

分段函数的导数

• 分段点 $x_0$ 处使用导数定义求导，分别计算左右导数从而判定 $x_0$ 处导数是否存在
• 非分段点部分直接用导数公式求导，但需要写清楚范围！分段点包括无定义点、绝对值=0的点

反函数的导数

设 $y=f(x)$ 为单调、可导函数，且 $f'(x)\neq0$ ，则存在反函数 $x=\phi(y)$

1. 一阶导数

   $$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

   即，对原函数的导数取倒数

   $$\phi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$

2. 二阶导数（重点）

   记 $f'(x) = y_x'$ ，$\phi'(y) = x_y'$，则由一阶导数结果

   $$y_x'=\frac{1}{x_y'}$$

   因此，

   $$y_{xx}''=\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{1}{x_y'})}{dx} = \frac{d(\frac{1}{x_y'})}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d(\frac{1}{x_y'})}{dy} \cdot \frac{1}{x_y'}= -\frac{1}{{x_y'}^2}\cdot x_{yy}''\cdot\frac{1}{x_y'}$$

   即

   $$y_{xx}'' =-\frac{x_{yy}''}{(x_y')^3}$$

   反之，$x$ 和 $y$ 可以互调。

参数方程的导数

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程

$$\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$$

确定，且 $\phi(t)$，$\psi(t)$ 均可导。

1. 一阶导数

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}$$

2. 二阶导数

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt} = \frac{\psi''(t)\phi'(t) - \psi'(t)\phi''(t)}{[\phi'(t)]^3}$$

   即

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y_t''x_t'-y_t'x_t''}{(x_t')^3}$$

高阶导数（重点）

必背公式：

• $\left(e^{ax+b}\right)^{(n)}=a^n e^{ax+b}$
• $[\sin (ax+b)]^{(n)}=a^n\sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})$
• $[\cos (ax+b)]^{(n)}=a^n\cos(ax+b+\frac{n\pi}{2})$，同$sin$形式类似
• $\left[\ln(ax+b)\right]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}$
• $\left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n\frac{n!}{(ax+b)^{n+1}}$，可理解为$\frac{1}{a}[\ln(ax+B)]^{(n+1)}$
• 重点中的重点（其他可推）： $e^{ax+b}$、$sin(ax+b)$、$\ln(ax+b)$

求解方法：

1. 归纳法

   先求多几阶导数，观察有没有 阶乘、n次方、不变项 之类的东西，总结规律。

2. 莱布尼兹公式（求两函数乘积形式的高阶导数）

   $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\,u^{(n-k)}v^{(k)}$$

   重点是找到两部分中哪一部分 ( v ) 拥有 导数=0 的项，因为该项之后的都必为0。

   以求 $(xe^x)^{(n)}$ 为例子

   $$(xe^x)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,x^{(n-k)}(e^x)^{(k)}=C_n^n x e^x + C_n^{\,n-1}e^x=(C_n^n x + C_n^{n-1})e^x=(x+n)e^x$$

3. 泰勒展开法（求某特定点上的高阶导数）

   使用常用函数的泰勒展开式（[[常用泰勒展开式]]）将 $f(x)$ 中的某部分展开到第 $N$ 项，化简后写成 $m$ 的形式。然后与 $f(x)$ 泰勒展开式的标准形式对比（比对含 $x$ 项），求出 $m$ 与 $n$ 的关系式，最后反解出 $f(x)$ 的高阶导数。

   $f(x)$ 的泰勒展开式：

   $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

   求$f(x)=x^2\ln(1-x)$，在$n \ge 3$时，$f^{(n)}(0)$的值

   $$f(x)=x^2\ln(1-x)=x^2\cdot\sum_{m=1}{\infty}(-1)^{m-1}\cdot\frac{(-1)^mx^m)}{m}=-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m+3}}{m+1}$$

   与 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ 比较 $x$ 项的系数，有 $n=m+3$ ，所以

   $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=-\frac{1}{m+1}=-\frac{1}{n-2}$$

   化简得

   $$f^{(n)}(0)=-\frac{n!}{n-2}$$

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