一阶微分方程的求解

作者：Eric

创建时间：2026-06-11 17:44

这篇记什么

• 一阶微分方程的种类和求解方法

主要内容

可分离变量型

方程形式：

$$\frac{dx}{dy}=f(x)g(y)$$

解法：

$$\int \frac{dy}{g(y)}=\int \frac{dx}{f(x)}$$

变式：

$$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$$

令 $u=ax+by+c$ 即可化为有关 $\frac{du}{dx}$ 的方程

齐次型

方程形式：

$$\frac{dy}{dx}=\phi(\frac{y}{x})$$

解法： 令 $u=\frac{y}{x}$ ，即 $y=ux$， 故

$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

原方程可化为，

$$u+x\frac{du}{dx}=\phi(u)$$

即

$$\frac{du}{\phi(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

注意事项

• 一般带有 $xy'$ 的方程可以通过两边同除 $x$ 转化成齐次型

一阶线性微分方程

方程形式：

$$y'+p(x)y=q(x)$$

解法：

$$y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x) dx + C)$$

变式：

将每个积分转化为变限积分，此举在求极限时可使用洛必达

$$y=e^{-\int_{x_0}^{t} p(t)dt}(\int_{x_0}^{t} e^{\int_{x_0}^{t} p(s)ds}\cdot q(t) dt + C)$$

注意事项

• 关键在于 $e^{\int p(x)dx}$
• 记忆口诀：外负P，内PQ积分再加C

伯努利方程

方程形式： 相较于 一阶线性微分方程 其 $q(x)$ 多了一项 $y^n$ ，$n \neq 0,1$

$$y'+p(x)y=q(x) y^n$$

解法： 令 $z=y^{1-n}$，则

$$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$$

故原方程可转化为

$$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$$

注意事项

• $z=y^{1-n}$ ，此换元的实质是原方程两边同除 $y^n$
• 还元后方程的微分项前多了一个系数 $\frac{1}{1-n}$

二阶可降阶型

可分为两种形式，“缺 $y$ 型”和“缺 $x$ 型”。其区别在于在根据 $p$ （$y'$）求 $y''$ （$p'$）的时候的方法不同。

此类型的两种形式可以同视作方程 $y''=F(x, y, p)$，其中 $p=\frac{dy}{dx}$，。

若缺 $y$，在只含有 $p$ 和 $x$ 的方程中 $p$ 被视为关于 $x$ 的显函数（ $F(x,p)$ ）。

若缺 $x$，在只含有 $p$ 和 $y$ 的方程中 $p$ 被视为关于 $x$ 的隐函数（ $F(y,p)$ ）。

1. 缺 $y$ 型

   方程形式：

   $$y''=f(x,y')$$

   解法： 令 $y'=p$， $y''=p'$ ，转化为一阶微分方程

2. 缺 $x$ 型

   方程形式：

   $$y''=f(y,y')$$

   解法： 令 $y'=p$， $y''=p'=p\frac{dp}{dy}$ ，转化为一阶微分方程

全微分型

此类型的本质是多元函数中的“混合偏导相同原则”。 若一阶微分方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 为全微分方程，由混合偏导相同原则，

$$\frac{\partial{P(x,y)}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q(x,y)}}{\partial{x}}$$

由此等式可以可解出 $P$ 或 $Q$ 中隐含的 $f(x)$ 或 $f'(x)$ 等函数。

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