F范数与迹

作者：Eric

创建时间：2026-04-16 11:2

这篇记什么

• 推导 $F范数$ 与迹的关系

主要内容

设

$$A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{m\times n}$$

即

$$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

那么它的转置矩阵为

$$A^T= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

于是

$$A^TA = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$$

将其矩阵乘法写出可得

$$A^TA= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^m a_{i1}^2 & \sum_{i=1}^m a_{i1}a_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{i1}a_{in}\\ \sum_{i=1}^m a_{i2}a_{i1} & \sum_{i=1}^m a_{i2}^2 & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{i2}a_{in}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{i=1}^m a_{in}a_{i1} & \sum_{i=1}^m a_{in}a_{i2} & \cdots & \sum_{i=1}^m a_{in}^2 \end{pmatrix}.$$

因此，其对角元分别为

$$(A^TA)_{11}=\sum_{i=1}^m a_{i1}^2,\qquad (A^TA)_{22}=\sum_{i=1}^m a_{i2}^2,\qquad \cdots,\qquad (A^TA)_{nn}=\sum_{i=1}^m a_{in}^2.$$

所以

$$\operatorname{tr}(A^TA)=\sum_{j=1}^n (A^TA)_{jj}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m a_{ij}^2.$$

而 Frobenius 范数的定义为

$$\|A\|_F^2=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2.$$

由于有限项求和次序可以交换，

$$\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m a_{ij}^2 = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2,$$

故

$$\operatorname{tr}(A^TA)=\|A\|_F^2.$$

即

$$\boxed{\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^TA)}.$$

相关

• 无